Фигуры на плоскости

Окружность, вписанная в равнобедренную трапецию , касается её боковой стороны в точке . Луч вторично пересекает окружность в точке , а прямую — в точке , причём , . а) Докажите, что . б) Найдите основания трапеции.

В треугольнике ABC угол A равен 120°. Прямые, содержащие высоты BM и CN треугольника ABC, пересекаются в точке H. Точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. а) Докажите, что AH=AO. б) Найдите площадь треугольника AHO, если BC=3, ∠ABC=15°.

Биссектрисы углов BAD и BCD равнобедренной трапеции ABCD пересекаются в точке O. Через точку O провели прямую, параллельную основаниям BC и AD. а) Докажите, что отрезок этой прямой внутри трапеции равен её боковой стороне. б) Найдите отношение длин оснований трапеции, если AO=CO и данная прямая делит сторону AB в отношении AM:MB=1:2.

На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC отмечены точки C 1, A 1 и B 1 соответственно, причём A C 1 : C 1 B=21:10, B A 1 : A 1 C=2:3, A B 1 : B 1 C=2:5. Отрезки B B 1 и C C 1 пересекаются в точке D. а) Докажите, что четырёхугольник AD A 1 B 1 — параллелограмм. б) Найдите CD, если отрезки AD и BC перпендикулярны, AC=63, BC=25.

В равнобедренной трапеции ABCD основание AD в два раза больше основания BC. а) Докажите, что высота CH трапеции разбивает основание AD на отрезки, один из которых втрое больше другого. б) Пусть O — точка пересечения диагоналей трапеции ABCD. Найдите расстояние от вершины C до середины отрезка OD, если BC=16 и AB=10.

Окружность проходит через вершины A, B и D параллелограмма ABCD, пересекает сторону BC в точках B и M и пересекает продолжение стороны CD за точку D в точке N. а) Докажите, что AM=AN. б) Найдите отношение CD:DN, если AB:BC=1:2, а cos∠BAD= 2 3.

Точка E — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. На стороне AB взяли точку K так, что прямые CK и AE параллельны. Отрезки CK и BE пересекаются в точке O. а) Докажите, что CO=KO. б) Найдите отношение оснований трапеции BC и AD, если площадь треугольника BCK составляет 9 100 площади трапеции ABCD.

Окружность с центром O 1 касается оснований BC и AD и боковой стороны AB трапеции ABCD. Окружность с центром O 2 касается сторон BC, CD и AD. Известно, что AB=10, BC=9, CD=30, AD=39. а) Докажите, что прямая O 1 O 2 параллельна основаниям трапеции ABCD. б) Найдите O 1 O 2.

Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке . Вершины и равнобедренного прямоугольного треугольника с прямым углом лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая вторично пересекает бо́льшую окружность в точке , а прямая вторично пересекает меньшую окружность в точке . а) Докажите, что прямые и параллельны. б) Найдите , если радиусы окружностей равны и 15.

В равнобедренном остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AH и CT к боковым сторонам BC и AB. Отрезки HM и HK — перпендикуляры к прямым AB и AC соответственно. Отрезки CT и MK пересекаются в точке E. а) Докажите, что TH=ME. б) Найдите длину отрезка EK, если AB=5 и AC=6.

В параллелограмме ABCD с острым углом BAD из вершины B проведены высоты BP и BQ, причём точка P лежит на стороне AD, а точка Q — на стороне CD. На стороне AD отмечена точка M. Известно, что AM=BP, AB=BQ. а) Докажите, что BM=PQ. б) Найдите площадь треугольника APQ, если AM=BP=8, AB=BQ=10.

Прямая, перпендикулярная стороне BC ромба ABCD, пересекает его диагональ AC в точке M, а диагональ BD в точке N​, причём AM:MC=1:2, BN:ND=1:3. а) Докажите, что прямая MN делит сторону ромба BC в отношении 1:4. б) Найдите сторону ромба, если MN= 6 .

На стороне BC треугольника ABC отмечена точка D так, что AB=BD. Биссектриса BF треугольника ABC пересекает прямую AD в точке E. Из точки C на прямую AD опущен перпендикуляр CK. а) Докажите, что AB:BC=AE:EK. б) Найдите отношение площади треугольника ABE к площади четырёхугольника CDEF, если BD:DC=5:2.

Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно. а) Докажите, что прямые KM и BC параллельны. б) Пусть L — точка пересечения отрезков KM и AP. Найдите длину отрезка AL, если радиус большей окружности равен 34, а BC=32.

В остроугольном треугольнике ABC высоты A A 1 , B B 1 и C C 1 пересекаются в точке H. Через точку C 1 параллельно высоте B B 1 проведена прямая, пересекающая высоту A A 1 в точке K. а) Докажите, что AB⋅KH=BC⋅ C 1 H. б) Найдите отношение площадей треугольников C 1 HK и ABC, если AB=6, BC=4, AC=5.

Окружность с центром O касается боковых сторон AB и BC равнобедренного остроугольного треугольника ABC и его высоты CH. а) Докажите, что ∠OAC=45°. б) Найдите длину отрезка BC, если BO=1 и AC=6.

На стороне AC равностороннего треугольника ABC отмечена точка M. Серединный перпендикуляр к отрезку BM пересекает стороны AB и BC в точках E и K соответственно. а) Докажите, что ∠AEM=∠CMK​. б) Найдите отношение площадей треугольников AEM и CMK​, если AM:MC=1:4.

В квадрате ABCD точки M и N — середины сторон AB и BC соответственно. Отрезки CM и DN пересекаются в точке K. а) Докажите, что ∠ BKM=45°​. б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABK, если сторона AB=2 10 .

Периметр треугольника ABC равен 36. Точки E и F — середины сторон AB и BC соответственно. Отрезок EF касается окружности, вписанной в треугольник ABC. а) Докажите, что AC=9. б) Найдите площадь треугольника ABC, если ∠ACB=90°.

В треугольнике ABC точки A 1, B 1 и C 1 — середины сторон BC, AC и AB соответственно, AH — высота, ∠BAC=120°, ∠BCA=15°. а) Докажите, что точки A 1, B 1, C 1 и H лежат на одной окружности. б) Найдите A 1 H, если BC=4 3.

Окружность с центром O касается катетов AC и BC прямоугольного треугольника ABC в точках M и E соответственно, а его гипотенузы — в точке K. Отрезок EH — перпендикуляр к прямой MK. а) Докажите, что прямые CH и EK параллельны. б) Найдите отношение CH:EK, если AC=12 и BC=5.

В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N — середины гипотенузы AB и катета BC соответственно, точка K отмечена на катете BC так, что CK:KB=1:3. а) Докажите, что AN=2KM. б) Пусть P — точка пересечения отрезков AN и KM. Найдите длину отрезка прямой BP, заключённого внутри треугольника ABC, если AC=6, BC=8.

Прямая, перпендикулярная стороне BC ромба ABCD, пересекает его диагональ AC в точке M, а диагональ BD в точке N, причём AM:MC=1:2, BN:ND=1:3. а) Докажите, что cos∠BAD= 1 5. б) Найдите площадь ромба, если MN=5.

Окружность с центром в точке O касается сторон угла с вершиной N в точках A и B. Отрезок BC — диаметр этой окружности. а) Докажите, что ∠ANB=2∠ABC. б) Найдите расстояние от точки N до прямой AB, если известно, что AC=14 и AB=36.

В треугольнике ABC точки A 1, B 1 и C 1 — середины сторон BC, AC и AB соответственно, AH — высота, ∠BAC=30°, ∠BCA=45°. а) Докажите, что точки A 1, B 1, C 1 и H лежат на одной окружности. б) Найдите A 1 H, если BC=4 3.

Две окружности касаются внутренним образом в точке . Вершины и равнобедренного прямоугольного треугольника с прямым углом лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая вторично пересекает бо́льшую окружность в точке , а прямая вторично пересекает меньшую окружность в точке . а) Докажите, что прямые и параллельны. б) Найдите , если радиусы окружностей равны 3 и 4.

Сумма оснований трапеции равна 10, а её диагонали равны 6 и 8. а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны. б) Найдите высоту трапеции.

Окружность с центром O касается боковых сторон AB и BC равнобедренного остроугольного треугольника ABC и его высоты CH. а) Докажите, что ∠AOC=90°. б) Найдите площадь треугольника ABC, если BO=7 и AC=16.

Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Известно, что AB=CD=3, BC=DE=4. а) Докажите, что AC=CE. б) Найдите длину диагонали BE, если AD=6.

В прямоугольном треугольнике ABC точка M лежит на катете AC, а точка N лежит на продолжении катета BC за точку C, причём CM=BC и CN=AC. а) Отрезки CP и CQ — медианы треугольников ABC и NCM соответственно. Докажите, что прямые CP и CQ перпендикулярны. б) Прямые MN и AB пересекаются в точке K, а прямые BM и AN — в точке L. Найдите KL, если BC=1, а AC=5.