Многогранники

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точки M и K — середины рёбер AB и SD соответственно. а) Докажите, что прямая MK параллельна плоскости SBC. б) Найдите высоту пирамиды, если AB=24, а угол между прямой MK и плоскостью основания пирамиды равен 30°.

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точки M и K — середины рёбер AB и SD соответственно. а) Докажите, что прямая MK параллельна плоскости SBC. б) Найдите высоту пирамиды, если AB=12, а угол между прямой MK и плоскостью основания пирамиды равен 60°.

На рёбрах AC, AD, BD и BC тетраэдра ABCD отмечены точки K, L, M и N соответственно, причём AK:KC=2:3. Четырёхугольник KLMN — квадрат со стороной 2. а) Докажите, что прямые AB и CD перпендикулярны. б) Найдите расстояние от вершины B до плоскости KLM, если объём тетраэдра ABCD равен 25.

Точка M — середина бокового ребра SC правильной четырёхугольной пирамиды SABCD. Точка N лежит на стороне основания BC. Плоскость α проходит через точки M и N параллельно боковому ребру SA. а) Плоскость α пересекает боковое ребро SD в точке L. Докажите, что BN:NC=DL:LS. б) Плоскость α делит пирамиду SABCD на два многогранника. Найдите отношение их объёмов, если BN:NC=1:3.

В правильном тетраэдре ABCD все рёбра равны 6. На рёбрах AB и AD отмечены точки M и K соответственно так, что AM=AK=4. а) Докажите, что плоскость CMK делит тетраэдр ABCD на два многогранника, объёмы которых относятся как 5:4. б) Найдите косинус угла между прямой AC и плоскостью CMK.

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все рёбра равны, на ребре AA1 отмечена точка M. Известно, что AM=2MA1. Через точки M и C1 провели плоскость α перпендикулярно грани ABB1A1. а) Докажите, что плоскость α делит ребро A1B1 пополам. б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения призмы ABCA1B1C1 плоскостью α равна 39.

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD известно, что AB=1. Через точку O пересечения диагоналей основания перпендикулярно ребру SC провели плоскость α. а) Докажите, что плоскость α проходит через вершины B и D. б) В каком отношении плоскость α делит ребро SC​, считая от вершины S, если площадь сечения равна 2 3 ?

Плоскость α перпендикулярна плоскости основания ABCD правильной четырёхугольной пирамиды SABCD и пересекает ребро SA в точке K. Сечение пирамиды плоскостью α является правильным треугольником площадью 4 3 .а) Докажите, что плоскость α перпендикулярна прямой AC. б) В каком отношении точка K делит ребро SA, считая от точки S, если объём пирамиды равен 18 3 ?

В правильной треугольной призме ABC A 1 B 1 C 1 отметили точки M и K на рёбрах A A 1 и A 1 B 1 соответственно. Известно, что A 1 M=2MA, A 1 K=K B 1 . Через точки M и K провели плоскость α перпендикулярно грани AB B 1 A 1 . а) Докажите, что плоскость α проходит через вершину C 1 . б) Найдите площадь сечения призмы ABC A 1 B 1 C 1 плоскостью α, если все рёбра призмы равны 12.

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD через ребро AB провели плоскость α, образующую сечение ABMN​, где точки M и N — точки пересечения плоскости α с боковыми рёбрами SC и SD соответственно. Известно, что AB=BM=AN=5MN​. а) Докажите, что точки M и N делят рёбра SC и SD в отношении 1:4, считая от вершины S. б) Найдите косинус угла между плоскостью основания ABCD и плоскостью α.

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка M — середина ребра AB. Через точку M проведена плоскость α, параллельная плоскости SBC и пересекающая ребро SD в точке K. а) Докажите, что K — середина ребра SD. б) Найдите объём пирамиды SABCD, если AB=24, а угол между прямой MK и плоскостью основания пирамиды равен 30°.

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF точки M и K — середины боковых рёбер SA и SD соответственно. а) Докажите, что прямые BC и MK параллельны. б) Найдите объём пирамиды MABF, если AB=8, а угол между плоскостью BMC и плоскостью основания пирамиды SABCDEF равен 45°.

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF точки M и K — середины боковых рёбер SA и SD соответственно. а) Докажите, что прямые BC и MK параллельны. б) Найдите объём пирамиды MABF, если AB=12, а угол между плоскостью BMC и плоскостью основания пирамиды SABCDEF равен 30°.

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно 4 3 . Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды. а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5:1, считая от точки C. б) Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α.

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF точки M и K — середины боковых рёбер SA и SD соответственно. а) Докажите, что прямые BM и CK лежат в одной плоскости. б) Найдите высоту пирамиды, если AB=8, а угол между плоскостью BMC и плоскостью основания пирамиды равен 45°.

В правильной треугольной призме ABC A 1 B 1 C 1 известно, что AB=2. Плоскость α проходит через вершины A 1 и B и середину M ребра C C 1 . а) Докажите, что сечение призмы ABC A 1 B 1 C 1 плоскостью α является равнобедренным треугольником. б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения плоскостью α равна 6.

На рёбрах BC, AB и AD правильного тетраэдра ABCD отмечены точки L, M и N соответственно. Известно, что BL:LC=AM:MB=AN:ND=1:2. а) Докажите, что плоскость α, проходящая через точки L, M, N, делит ребро CD в отношении 2:1, считая от вершины C. б) Найдите площадь сечения тетраэдра ABCD плоскостью α, если AB=6.

В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с основаниями AD и BC, равными 8 и 3 соответственно. Точки M и N лежат на рёбрах SD и BC соответственно, причём SM:MD=3:2, BN:NC=1:2. Плоскость AMN пересекает ребро SC в точке K. а) Докажите, что SK:KC=6:1. б) Плоскость AMN делит пирамиду SABCD на два многогранника. Найдите отношение их объёмов.

Через среднюю линию основания треугольной призмы, объём которой равен 48, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём отсечённой треугольной призмы.

Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Образующая конуса равна 18 2 . Найдите радиус сферы.

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём этой призмы, если объём отсечённой треугольной призмы равен 7.

В прямоугольном параллелепипеде ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 известно, что AB=6, BC=5, A A 1 =4. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, D, A 1, B 1.

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины A, B, C, C 1 правильной треугольной призмы ABC A 1 B 1 C 1, площадь основания которой равна 7, а боковое ребро равно 9.

В прямоугольном параллелепипеде ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 известно, что AB=7, BC=6, A A 1 =5. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A1, B1, C1.

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём этой призмы, если объём отсечённой треугольной призмы равен 5.

Дана правильная треугольная призма ABC A 1 B 1 C 1, площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 6. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки B, C, A 1, B 1, C 1.

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы равна 18. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.

Через среднюю линию основания треугольной призмы, объём которой равен 24, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём отсечённой треугольной призмы.

В прямоугольном параллелепипеде ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 известно, что AB=9, BC=7, A A 1 =6. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, B 1.

Площадь боковой поверхности треугольной призмы равна 54. Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы.